メルマガバックナンバー（難関中の算数）

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　● 難関中の算数（中学入試問題）〜プロ家庭教師による解説　第１１号
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みなさん、こんにちは。

今回は、麻布中学校の問題を取り上げます。

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◆◇◆麻布中学校０５年第１問◆◇◆

　ある地方にＡ町、Ｂ町、Ｃ町の３つの町があります。町の面積の
比は３：５：２、人口の比は５：４：３です。もし、Ａ町とＢ町が
合併（がっぺい）すると人口密度が１km^2あたり７０６５人の新し
い町ができます。
　Ａ町とＢ町とＣ町が合併すると、人口密度は１km^2あたり何人に
なりますか。

◆◇◆コメント◆◇◆

平成の大合併を意識した問題かもしれませんね。
人口密度の問題ですが、結局は、食塩水の問題と同じことです。
（参考問題）
　Ａ、Ｂ、Ｃの３つの容器に食塩水が入っています。食塩水の比は
３：５：２、食塩の比は５：４：３です。もし、ＡとＢを混ぜると
濃さが７．０６５％の新しい食塩水ができます。

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◆◇◆ラ・サール中学校８９年２日目第３問◆◇◆

　右図においてＡＢは直線ｌに平行で、∠ＡＯＣ＝４５ﾟ、ＡＢ＝
２cm、ＯＣ＝１cm，ＯＡ＝１．４cm、ＯＢ＝３．２cmとします。三
角形ＯＡＢを直線ｌのまわりに、１回転したときにできる立体の体
積と、全表面積を求めなさい。（ただし、円周率は３．１４とし、
答えは４捨５入で小数第１位まで求めなさい。）
（図は、ホームページをご覧ください。）

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◆◇◆コメント◆◇◆

　回転体の体積・表面積の問題ですね。
　Ｎ角形を回転させた立体は、円柱と円すい（円すい台）を組み合
わせたものになります。
　見取り図をかかずに処理できるようにしておきましょう。

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◆◇◆ラ・サール中学校０６年第４問◆◇◆

　右の図のように水そうに３本の円柱Ａ、Ｂ、Ｃを立て、水面の高
さが１８cmになるまで水を入れました。このとき、Ａ、Ｂ、Ｃのう
ち、水そうから、ＡとＢを取り出すと水面の高さは５cmになり、Ａ
とＣを取り出すと水面の高さは９cmになり、ＢとＣを取り出すと水
面の高さは６cmになりました。このとき、次の問に答えなさい。
（１）円柱Ａ、Ｂ、Ｃの底面積の比を最もかんたんな整数の比で表
しなさい。
（２）Ａだけを取り出すと水面の高さは何cmになりますか。
（図は、ホームページをご覧ください。）

◆◇◆コメント◆◇◆

　おもり（円柱）が水面の上に突き出ているので、水槽を真上から
見た図をかくとわかりやすいでしょう。
　逆比を利用すれば簡単に解けます。

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　● 難関中の「算数（中学入試問題）〜プロ家庭教師による解説　第９号
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◆◇◆開成中学校０２年第２問◆◇◆

　Ａ、Ｂ、Ｃ３つの容器に食塩水が２００ｇずつ入っています。次
のような操作をしました。容器Ａ内の食塩水１００ｇを容器Ｂに移
し、よくかき混ぜます。次に、容器Ｂ内にできた食塩水１００ｇを
容器Ｃに移し、よくかき混ぜます。次に、容器Ｃ内にできた食塩水
１００ｇを容器Ａに移し、よくかき混ぜます。以上の操作後の容器
Ａ内の食塩水の濃度（のうど）は５％、容器Ｂ内の食塩水の濃度
（のうど）は、はじめに容器Ａ内にあった食塩水の濃度（のうど）
の２倍、容器Ｃ内の食塩水の濃度（のうど）は、はじめに容器Ｂ内
にあった食塩水の濃度（のうど）の２倍でした。次の問いに答えな
さい。

◆◇◆コメント◆◇◆

　ややこしそうですが、２種類の食塩水を混ぜるという操作をして
いるだけなので、天秤算で処理できます。

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◆◇◆ラ・サール中学校９４年２日目第２問◆◇◆

　線路と平行なまっすぐな道を毎時４kmの速さで歩いている人を、
列車が６秒間で追いぬき、また、同じ道を毎時５２kmで走ってい
る自動車を、この列車が１８秒間で追いぬきました。列車の速さ
は一定とし、人と自動車の長さは考えないものとして、次の問に
答えなさい。
（１）自動車の速さと人の速さの差は毎秒何ｍですか。
（２）列車の長さを求めなさい。

◆◇◆コメント◆◇◆

　通過算と旅人算がしっかり理解できていれば、それほど難しく
ありません。
（１）の誘導をうまく利用しましょう。

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◆◇◆麻布中学校０６年第５問◆◇◆

　次の □ と 回 の中に、１から９までの整数のうちの異なる
７つの数を入れます。このとき、縦、横、斜（なな）めに並ぶ
３つずつの数の組が５組できます。そのとき、各組の３つの数
の和がすべて同じになるようにします。このような数の置き方
のうち、中央の 回 に入る数が異なる場合を２通り書きなさい。

（図は、ホームページをご覧ください。）

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◆◇◆コメント◆◇◆

パズルのような問題です。
知識がなくても解けるので、低学年でも取り組めるます。
ぜひやってみましょう。
解説では、平均をキーワードとして解いてみました。

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今回は、今年の武蔵中学校の問題を取り上げます。

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◆◇◆武蔵中学校０６年第１問◆◇◆

　図のようなたて５cm、横８cm、高さ６cmの直方体があり、図
で見えている３つの面は赤、見えていない３つの面は青にぬら
れています。この直方体を図の点線にそって、１辺が１cmの立
方体に切り分けました。次の問に答えなさい。
（計算も書きなさい）
（１）どの面にも色がぬられていない立方体は、全部でいくつ
ありますか。
（２）青がぬられていて、赤がぬられていない立方体は、全部
でいくつありますか。
（３）赤と青の両方がぬられている立方体は、全部でいくつあ
りますか。また、これらの立方体のうち、色がぬられていない
面の面積の合計は何cm^2ですか。

（図は、ホームページをご覧ください。）

◆◇◆コメント◆◇◆

立体図形の色塗りの問題です。
色が２色になっているところが少し面倒なだけです。
典型的な問題なので、短時間で解く必要があります。

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今回は、今年の開成中学校の問題を取り上げます。

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◆◇◆開成中学校０６年第２問◆◇◆

　さとし君の家から上り坂を上ったところに図書館があります。
さとし君はこの坂を、上りは分速５０ｍで、下りは分速７５ｍ
で歩きます。坂の途中（とちゅう）には郵便局があり、そこか
ら９０ｍ坂を上ったところには中学校があります。
　ある日、さとし君は家から図書館に向かいましたが、郵便局
まで来たところで忘れ物をしたことに気づき、すぐに家に引き
返して忘れ物をとり、すぐに図書館に向かいました。そのため、
図書館に着くまでに、予定の時間の２．１倍かかってしまいま
した。
　そしてその日の帰り道、中学校まで来たところで、さとし君
は忘れ物をしたことに気づき、すぐに図書館に引き返して忘れ
物をとって、すぐに家に向かいましたが、家に着くまでに、予
定の時間の１．７倍かかってしまいました。
　さとし君の家と図書館の間の道のりは何ｍですか。また、さ
とし君の家と郵便局の間の道のりは何ｍですか。

（図は、ホームページの図をご覧ください。）

◆◇◆コメント◆◇◆

　問題文が長いですが、それほど難しくはありません。
　比を利用するといいでしょう。

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◆◇◆開成中学校０５年第３問◆◇◆

　<<図１>>のように、円周上に３点をとって正三角形をつくると、
図形の大きさにかかわらず、正三角形の面積と円の面積の比はおよ
そ５：１２になります。
　<<図２>>は、同じ大きさの小円６個と大円１個を組み合わせた図
形です。小円１個の面積が３１２cm＾2（平方センチメートル）の
とき、次の問いに答えなさい。
（１）<<図２>>の大円の面積は何cm＾2ですか。
（２）<<図２>>の斜線(しゃせん)のついた部分全体の面積はおよそ
何cm＾2ですか。
（斜線のついた部分とは、図の色をつけた部分です。）
（図は、ホームページの図をご覧ください。）

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◆◇◆コメント◆◇◆

　正六角形の分割と延長の図がイメージできれば、簡単です。


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◆◇◆武蔵中学校０５年第２問◆◇◆

　太郎君、次郎君の２人はそれぞれ一定の速さで山登りをしました。
２人は同時に登山口（とざんぐち）を出発し、太郎君は時速１・１/４
kmで登りました。太郎君が頂上に着いてから３２分後に、次郎君が頂
上に着きました。太郎君が頂上に着いてから１時間後に、来た道を２
人でいっしょに下りました。下るときの速さは次郎君が登るときの速
さの１・２/３倍で、２人が登山口にもどったのは登りはじめてから
９時間後でした。
　登山口から頂上までの道のりは何kmですか。また、次郎君が登ると
きの速さは時速何kmですか。（式や説明も書きなさい）

（１・１/４、１・２/３はそれぞれ１と１/４、１と２/３ということ
です。）

◆◇◆コメント◆◇◆

　比を利用して解きます。

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　次の[１]〜[４]が成り立つような５つの数の組をすべて求めなさい。
　[１]５つの数はすべて異なる整数です。
　[２]５つの数の平均は６０です。
　[３]大きい方の２つの数の和は、小さい方の３つの数の和に等しい。
　[４]最大の数は、最小の数の５倍です。
　答えは、左から大きい順に書きなさい。また、答えのらんは全部使うとは限り
ません。

　（答えのらんは４つ分ありました。）

◆◇◆コメント◆◇◆

　数の範囲をうまく絞っていきましょう。

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